大学高数(上)速成笔记

前言:

限于本人知识水平,有些地方可能不太严谨,内容不够完整,请多多指教. 因为是速成类,内容较为精简且公式来源无证明过程,建议每道题熟做并掌握.出于篇幅原因内容可能没有涵盖到考试的全部内容,请见谅.

由于本人技术有限(bushi),大多数地方可以用LaTeX替换的地方,但不是很影响阅读.其实是懒

资源分卷下载: 高数习题全解上册_同济第七版.pdf.7z.001 高数习题全解上册_同济第七版.pdf.7z.002

极限、连续、间断点

极限

极限存在的充要条件:

求极限时先判断极限是否存在

一般情况:

连续

如果在这一点函数值等于极限值则称该函数在这一点连续

间断点

先找定义域,再判断左右极限

总结

拓展:

学有余力的同学还可以去看夹逼准则,单调有界性原理,泰勒公式,麦克劳林公式,牛顿-莱布尼茨公式等

求极限值

有理化、多项式

略,太简单了

重要极限公式

$\lim_{\Delta\to0}\frac{\sin\Delta}{\Delta}=1$    $\lim_{\Delta\to\infty}\frac{\sin\Delta}{\Delta}=0$

$\lim_{\Delta\to0}(1+\Delta)^{\frac{1}{\Delta}}=lim_{\Delta\to\infty}(1+\frac{1}{\Delta})^{\Delta}=e$

拓展

例题:

证明:$\lim_{x\to0}e^{\ln(1+\frac{1}{x})^x}=e^{\lim_{x\to0\frac{\ln(1+\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}}}$

令$t=\frac{1}{x}$

对上式运用洛必达法则,得

$e^0=1$,即选A.

无穷小

洛必达法则

三角函数求导巧记:

​ secx secx tanx

​ cscx -cscx cotx

∞-武器型: 通分

0*∞型: 取倒数

1^∞^型: 取对数

0^0^型: 取对数

∞^0^型: 取对数

导数

求导定义公式

函数在某点可导的充分必要条件: 左导数等于右导数

求导计算

直接求导:略

复合函数求导

微分

隐函数求导

参数方程求导

可导、可微、连续之间的关系

单调性与凹凸性

单调性与极值点

凹凸性与拐点

拓展

含有拐点(瑕点)的积分一般认为是反常积分(广义积分).

官方解释:反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）。

例如:

A. $x=-1$为瑕点. B. $x= 0$为瑕点.属于反常积分.

C. $x= 0$为瑕点. D. 无瑕点,且积分区间的上限或下限中无无穷 ∞ ,不属于反常积分.

不定积分

直接积分

凑微分

换元法

分部积分

口诀:反对幂指三

有理化积分

拓展:

倒代换

当分母次数大于分子次数时或只含有幂函数情况下一般选用此方法.

采用方法: $x=\frac{1}{t}$ 进行替换

例题:

$\int\frac{1}{x(x^7+2)}dx$

解:令$x=\frac{1}{t},dx=-\frac{1}{t^2}dt$

$\int\frac{t}{(\frac{1}{t})^7+2}(-\frac{1}{t^2})dt=-\int\frac{t^6}{1+2t^7}dt$

$=-\frac{1}{14}\ln\left| 1+2t^7 \right|+C$

$=-\frac{1}{14}\ln\left| 2+x^7 \right|+\frac{1}{2}\ln|x|+C$

根式代换

略,很简单的,就一个字“看”,观察根号下的导数与分子的关系.

举不完全的简单例子吧

$\int\frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt[3]{x})}dx$

只需令$x=t^6\Rightarrow dx=6t^5dt$

进而得出$\int\frac{6t^5}{t^3(1+t^2)}dt=\int\frac{1+t^2-1}{1+t^2}dt$

之后就不详说了,so easy~

定积分

定积分的计算

凑微分/分部积分

注意分段:

换元换限

三角换元:

反常积分

反常积分(广义积分)中极限不存在即为发散

例如:

定积分的性质

特殊的:$f(x+T)=f(x)\Rightarrow\int_{0}^{nT}f(x)dx=n\int_{0}^{T}f(x)dx$

积分的导数

定积分的应用

三步: 1.画图 2.表微元 dA 3.积分求和$A=\int_{a}^{b}\mathrm{d}A$   $V=\int_{a}^{b}\mathrm{d}V$

利用定积分求面积

做法一

做法二

利用定积分求体积

利用定积分求弧长

记住核心公式: $ds = \sqrt{(dx)^2+(dy)^2}$

结合$dy=f’(x)dx$

故上式可化为 $ds = \sqrt{1+(f’(x))^2}dx$

例如求$a\leq x\leq b$的一段弧长

$s=\int_{a}^{b} \sqrt{1+(f’(x))^2}\mathrm{d}x$

例题

(嫌字迹丑,建议无视)

极坐标类型

对于极坐标: 弧长 $s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\rho^{\ 2}(\theta)+\rho^{\ \prime\ 2}(\theta)}\mathrm{d}\theta$

微分方程

可分离变量

形式: $g(y)dy=f(x)dx$

齐次微分方程

形式: $\frac{dy}{dx}=\varphi(\frac{y}{x})$

一阶线性微分方程

(必考题)

如果在大题中间,问你求一个表达式时,应该首先想到微分方程

二阶常系数齐次

二阶常系数非齐次

形式:

$y’’+py’+qy=e^{\lambda x}P_{m}(x)$
如果等号后面等于0,则表示齐,如果是非齐次的,分两种情况

一种是如上图所示,第二种是把$P_{m}(x)$换成sin(x)或者cos(x)

微分中值定理

罗尔中值定理

~~右边内容是给我看的,看不懂很正常~~右边可以通过e ^fa/bdx 快速求得

拉格朗日中值定理

拓展:

学有余力的同学还可以去看:柯西中值定理等

附加内容

总结(对前面部分内容):